Jonquille reine

Jonquille reine (Daffodil Queen)

La jonquille est une belle fleur jaune

            La jonquille est une belle fleur jaune. Sa beauté est célébrée par plusieurs comtés de l’État de Washington aux États-Unis. Au mois d’avril, plusieurs villes organisent simultanément des défilés de jonquilles dans leurs propres villes. À Tacoma, le défilé est grand auquel participent les élèves de 24 écoles secondaires. L’événement célébré comprend également un concours de beauté pour la sélection de la reine de la jonquille. Cette histoire se rapporte en partie à cette joyeuse fête au cours de laquelle plusieurs centaines de lycéennes entrent dans le concours en tant que princesses Jonquille dans l’espoir d’être choisies pour la gloire d’être sélectionnées comme les plus glamour et les plus belles.

            Sara aimait Johnny et ils allaient souvent chez l’autre. La plupart du temps, ils allaient aussi à l’école et revenaient ensemble. Ce soir, elle lui avait téléphoné plus tôt et maintenant elle est passée. Johnny l’attendait.

            Sara : Pourquoi as-tu ouvert ton sac de voyage ?

            La mère de Johnny : Oui, nous partons en week-end à Tacoma pour assister à la parade des Jonquilles.

            Sara : Wow, ça doit être sympa. Johnny n’a jamais mentionné que vous aimiez tant les jonquilles.

            La mère de Johnny : Mon frère vit à Tacoma. Sa fille, ma nièce qui est, Lizzi a participé au concours de beauté Jonquille de cette année. Elle est vraiment jolie et pourrait gagner. Elle va bien jusqu’à présent. Donc, nous allons la regarder dans le défilé Jonquille ce week-end. Le père de Johnny devait y aller mais il est occupé. Donc, Johnny et moi irons.

            Comme prévu, ils sont allés à Tacoma. À son retour, Johnny a posé une question à Sara et lui a demandé de venir.

            Sarah : Salut Johnny. Comment était le voyage ? Lizzi a-t-il remporté le titre ?

            La dispute de Lizzi et Johnny

            Johnny : Lizzi était proche. Elle était finaliste. C’était agréable de la voir ainsi que mon oncle et ma tante, et le défilé était magnifique. Vous savez que Lizzi est encore en 11e année. Elle pourrait donc réessayer l’année prochaine. Tout ça mis à part, mais Lizzi et moi avons eu une dispute. Peut-être que vous pouvez le régler.

            Sara : Quel genre d’argument ?

            Johnny : Je pense que cela implique la géométrie.

            Sara : Intéressant, une dauphine de reine de beauté et de géométrie ! On dirait qu’elle est intelligente aussi. Dites-moi la situation exacte, et j’essaierai de comprendre.

            Johnny : Laisse-moi te dessiner cette image d’un triangle rectangle. Nous avons séjourné dans un hôtel qui se trouve en C avec les routes AC et BC perpendiculaires l’une à l’autre. Le défilé allait dans la direction indiquée par la flèche. Notre question était de savoir quand Lizzi était la plus proche de nous pendant le défilé.

            J’ai dit que c’était simple à comprendre. Nous tirons CD de notre hôtel perpendiculairement à la route de parade AB. Ensuite, nous pouvons tout calculer.

            Sara : Vous aviez raison.

            Johnny : Elle ne m’a même pas donné la chance de comprendre et a dit qu’elle était la plus proche de nous lorsqu’elle avait traversé un cinquième du parcours du défilé entre B et A.

            Sara : Elle t’a donné une preuve ?

            Johnny : Elle a dit qu’elle me l’enverrait par e-mail mais elle ne l’a pas encore fait.

            Sara : Pourquoi ne pas d’abord voir si elle avait raison. Disons que CD = x, BD = a et DA = b.    BA étant l’hypoténuse du triangle rectangle ABC, du théorème de Pythagore, AB² = AC²+ BC² = 50000 soit AB = 223,61 mètres.

            Cela signifie que BD + DA = a + b = 223,61 mètres.

            Maintenant, BDC est aussi un triangle rectangle. Donc DB² (a²) = BC² – CD² (x²). Soit a² = 10000 – x².

            De même, à partir du triangle ADC, b² = 40000 – x².

            Alors b² – a² =40000-x²-(10000-x²) = 30000.

            Cela signifie b²-a² ou (b+a) x (b-a) = 30000

            On sait que a + b = 223,61 mètres

            Cela signifie b-a =30000/223,61 = 134,16 mètres

            En ajoutant les deux dernières équations 2b = 357,77 ou b = 178,89 mètres, et a = 44,7 mètres.

Lizzi avait raison

            Johnny : Vous savez, Lizzi avait raison parce que a = 44,7 mètres et a+b=223,61 mètres, et cela signifie que a est un cinquième de a+b (44,7/223,61).

            Sara : Lizzi est intelligente mais comment a-t-elle pu le comprendre si vite ? L’une des possibilités est qu’elle savait ce qu’est la moyenne géométrique.

            Qu’est-ce que la moyenne géométrique ?

            Johnny : Qu’est-ce que la moyenne géométrique ?

            Sara : Généralement, nous parlons de moyenne qui est une moyenne arithmétique dans laquelle vous additionnez deux nombres et divisez la somme par deux. En moyenne géométrique, vous les multipliez et prenez la racine carrée du produit (voir Trip To Langley Park pour en savoir plus sur la moyenne géométrique).

            Johnny : Je vois que c’est quelque chose comme dire que l’aire d’un rectangle avec les côtés a et b sera la même que celle d’un carré dont tous les côtés sont √ab. Mais comment cela s’intègre-t-il ici ?

            Sara : L’image que vous avez dessinée montre une ligne de base AB divisée en deux parties BD (a) et DA (B). En géométrie, lorsque vous dessinez un triangle rectangle ABC, la ligne verticale de C à D est la moyenne géométrique.

            Johnny : Est-ce que ça veut dire x = √ab et x² = ab ?

            Sara : Vous pouvez commencer à partir de là et à partir de a + b = 223,61 mètres. Maintenant dans le triangle BDC, x² =1002 -a².

            Johnny : alors ab = 1002 – a² ou b = 10000/a – a ou a + b = 10000/a ou 223,61 =10000/a ou a = 10000/231,61 = 44,7 mètres. Bien sûr, alors a/(a+b) = 44,7/223,61 = 1/5. C’est malin. Cela implique encore beaucoup de calculs. Aussi, quelle est la preuve que x² = ab ? Nous avons juste supposé que c’était la définition.

            Sara : Vous pouvez voir que ∠ADC = ∠ACB = 90°.

∠DAC = 90° -∠DCA car la somme de tous les angles d’un triangle est de 180°.

            Aussi ∠BCD = 90° -∠DCA car ACB est un angle droit.

            Cela fait ∠DAC =∠BCD

            Donc étant les troisièmes angles ∠ACD =∠DBC.

            Par conséquent, les triangles ACD et BCD sont similaires.

            Johnny : Donc, BD/CD = CD/AD ou b/x = x/a ou x² = ab. C’est chouette.

            Sara : Lizzi est une fille intelligente. Que compte-t-elle faire après le lycée ?

            Johnny : Elle veut devenir ingénieur civil mais je ne sais pas ce que ses parents veulent qu’elle fasse.

            Sara : Je suis impressionnée par ses compétences en mathématiques. J’espère qu’elle pourra faire ce qu’elle veut.

Défi

            Les côtés du triangle rectangle ABC sont AB = a et BC = b. Un carré avec un bras de p y est inscrit comme indiqué. Comment p est-il lié à a et b ?

Solution:

            Les zones de différentes formes apparaissant sur la figure sont

            Triangles : ABC = ab/2, ADE = (a-p) x p/2, EFC = (b-p) x p/2, Carré BDEF = p².

            Le triangle ABC est la somme des triangles ADE, EFC et du carré.

            Donc ab/2 = (a-p) x p/2 + (b-p) x p/2 + p² ou

             ab/2 = (a + b) x p/2 – p²/2 – p²/2 + p² ou

            ab/2 = (a+b) x p/2 ou

            p/2 = ab/(2(a+b)) ou

            p = ab/(a+b) ou p = 1/(1/a + 1/b)

            La moyenne harmonique de a et b serait 2/(1/a + 1/b)

            Donc p = la moitié de la moyenne harmonique de a et b

            (voir Voyage au parc Langley:  pour en savoir plus sur la moyenne harmonique)

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